7695. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите тангенс угла между плоскостью A_{1}BD
и плоскостью, проходящей через середины рёбер AB
, BB_{1}
, B_{1}C_{1}
, C_{1}D_{1}
, D_{1}D
, DA
.
Ответ. 2\sqrt{2}
.
Решение. Пусть K
, L
, M
, N
, O
и P
— середины рёбер AB
, BB_{1}
, B_{1}C_{1}
, C_{1}D_{1}
, D_{1}D
и DA
соответственно. Поскольку LM
и PK
— средние линии треугольников BB_{1}C_{1}
и DAB
, то LM\parallel BC_{1}
и PK\parallel BD
. Тогда по признаку параллельности двух плоскостей плоскость KLMNOP
параллельна плоскости BDC_{1}
. Следовательно, угол между плоскостями KLMNOP
и A_{1}BD
равен углу между плоскостями BDC_{1}
и A_{1}BD
.
Пусть Q
— центр квадрата ABCD
, а ребро куба равно a
. Тогда A_{1}Q
и C_{1}Q
— высоты равносторонних треугольников A_{1}BD
и BDC_{1}
, поэтому A_{1}QC_{1}
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями A_{1}BD
и BDC_{1}
.
В равнобедренном треугольнике A_{1}QC_{1}
известно, что
A_{1}C_{1}=a\sqrt{2},~QC_{1}=QA_{1}=\frac{BD\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.
По теореме косинусов
\cos\angle A_{1}QC_{1}=\frac{QA_{1}^{2}+QC_{1}^{2}-A_{1}C_{1}^{2}}{2QA_{1}\cdot QC_{1}}=\frac{\frac{6}{4}+\frac{6}{4}-2}{2\cdot\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{1}{3}.
Следовательно,
\tg\angle A_{1}QC_{1}=\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\angle A_{1}QC_{1}}-1}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}.