7713. Через точку, лежащую в одной из двух перпендикулярных плоскостей, проведена прямая, перпендикулярная второй плоскости. Докажите, что эта прямая лежит в первой плоскости.
Решение. Пусть перпендикулярные плоскости \alpha
и \beta
пересекаются по прямой c
, а прямая, проходящая через точку M
плоскости \alpha
перпендикулярно плоскости \beta
, пересекает плоскость \alpha
в точке K
. Предположим, что точка K
не лежит на прямой c
. Поскольку прямая MK
перпендикулярна плоскости \beta
, прямые MK
и c
перпендикулярны. Проведём через прямую MK
плоскость \gamma
, перпендикулярную прямой c
. Пусть P
— точка пересечения плоскости \gamma
с прямой c
. Тогда MPK
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями \alpha
и \beta
. По условию \angle MPK=90^{\circ}
, а так как MK\perp\beta
, то \angle MKP=90^{\circ}
. Таким образом через точку M
в плоскости \gamma
проведены две различные прямые, перпендикулярные прямой PK
, что невозможно. Следовательно, точка K
лежит на прямой c
, а прямая a
лежит в плоскости \alpha
.