7717. Концы отрезка AB
принадлежат граням двугранного угла, равного \varphi
. Расстояния AA_{1}
и BB_{1}
от точек A
и B
до ребра двугранного угла равны a
и b
соответственно, A_{1}B_{1}=c
. Найдите AB
.
Ответ. \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos\varphi}
.
Решение. Первый способ. Прямая A_{1}B_{1}
— ребро двугранного угла с гранями \alpha
и \beta
. Из точки B
, лежащей в грани \beta
, опустим перпендикуляр BB_{2}
на грань \alpha
. Тогда B_{1}B_{2}
— ортогональная проекция наклонной BB_{1}
на плоскость \alpha
. По теореме о трёх перпендикулярах B_{1}B_{2}\perp A_{1}B_{1}
, поэтому BB_{1}B_{2}
— линейный угол данного двугранного угла. По условию задачи \angle BB_{1}B_{2}=\varphi
. Из прямоугольного треугольника BB_{1}B_{2}
находим, что
BB_{2}=BB_{1}\sin\varphi=b\sin\varphi,~B_{1}B_{2}=BB_{1}\cos\varphi=b\cos\varphi.
Опустим перпендикуляр AF
из точки A
грани \alpha
на прямую B_{1}B_{2}
. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AFB_{2}
и ABB_{2}
находим, что
AB^{2}_{2}=AF^{2}+B_{2}F^{2}=A_{1}B^{2}_{1}+(B_{1}F-B_{1}B_{2})^{2}=
=A_{1}B^{2}_{1}+(AA_{1}-B_{1}B_{2})^{2}=c^{2}+(a-b\cos\varphi)^{2},
AB^{2}=AB^{2}_{2}+BB^{2}_{2}=c^{2}+(a-b\cos\varphi)^{2}+b^{2}\sin^{2}\varphi=
=a^{2}+b^{2}(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi)+c^{2}-2ab\cos\varphi=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos\varphi.
Следовательно, AB=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos\varphi}
.
Второй способ. Обозначим \overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{B_{1}B}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{A_{1}B_{1}}=\overrightarrow{c}
. Тогда
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b},~\overrightarrow{AB}^{2}=\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{c}^{2}+\overrightarrow{b}^{2}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}.
Так как отрезки A_{1}A
и B_{1}B
перпендикулярны отрезку A_{1}B_{1}
, то
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=0,~\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0,~\overrightarrow{AB}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}.
Векторы \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
сонаправлены сторонам линейного угла данного двугранного угла, поэтому \angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=180^{\circ}-\varphi
. Значит, \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=ab\cos\varphi
. Следовательно,
AB=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos\varphi}.