7724. Найдите объём правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30^{\circ}
, а сторона основания равна a
.
Ответ. a^{3}\sqrt{2}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— правильная призма с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
, причём AB=a
. Поскольку прямая AD
перпендикулярна плоскости грани CDD_{1}C_{1}
, DC_{1}
— ортогональная проекция диагонали AC_{1}
на эту плоскость, а AC_{1}D
— угол прямой AC_{1}
с плоскостью грани CDD_{1}C_{1}
.
По условию задачи \angle AC_{1}D=30^{\circ}
. Из прямоугольных треугольников AC_{1}D
и DCC_{1}
находим, что
DC_{1}=AD\cdot\ctg30^{\circ}=a\sqrt{3},
CC_{1}=\sqrt{DC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{3a^{2}-a^{2}}=a\sqrt{2},
а так как CC_{1}
— высота призмы, то
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot CC_{1}=a^{2}\cdot a\sqrt{2}=a^{3}\sqrt{2}.