7727. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием 6 и высотой 9. Каждое боковое ребро равно 13. Найдите объём пирамиды.
Ответ. 108.
Решение. Пусть ABCD
— треугольная пирамида с основанием ABC
, DA=DB=DC=13
, BC=6
, AK=9
(K
— середина BC
). Из прямоугольного треугольника AKC
находим, что
AC=\sqrt{AK^{2}+CK^{2}}=\sqrt{81+9}=3\sqrt{10},~\sin\angle ACK=\frac{AK}{AC}=\frac{3}{\sqrt{10}}.
Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, её высота проходит через центр O
окружности, описанной около основания. Пусть R
— радиус этой окружности. Тогда
R=\frac{AB}{2\sin\angle ACB}=\frac{3\sqrt{10}}{\frac{6}{\sqrt{10}}}=5.
Из прямоугольного треугольника AOD
находим, что
DO=\sqrt{AD^{2}-OA^{2}}=\sqrt{169-25}=12.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AK\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot9\cdot12=108.