7733. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого равна Q
. Площади диагональных сечений равны S_{1}
и S_{2}
. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. \sqrt{\frac{QS_{1}S_{2}}{2}}
.
Решение. Пусть a
и b
— диагонали основания данного параллелепипеда, h
— его высота. Поскольку параллелепипед прямой, его диагональные сечения — прямоугольники. По условию задачи
\frac{ab}{2}=Q,~ah=S_{1},~bh=S_{2}.
Из первого равенства следует, что ab=2Q
. Перемножив почленно два последних равенства, найдём, что
h=\frac{\sqrt{S_{1}S_{2}}}{\sqrt{ab}}.
Пусть V
— искомый объём параллелепипеда. Тогда
V=Q\cdot h=Q\cdot\frac{\sqrt{S_{1}S_{2}}_{1}}{\sqrt{ab}}=Q\cdot\frac{\sqrt{S_{1}S_{2}}}{\sqrt{2Q}}=\sqrt{\frac{QS_{1}S_{2}}{2}}.