7734. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна d
и составляет с боковым ребром призмы угол 30^{\circ}
. Найдите объём призмы.
Ответ. \frac{9d^{3}}{64}
.
Решение. Пусть сторона правильного шестиугольника, лежащего в основании данной призмы, равна a
. Тогда наибольшая его диагональ равна 2a
, причём она является ортогональной проекцией на плоскость основания наибольшей диагонали призмы. Пусть h
— высота призмы, V
— её объём. Из условия задачи следует, что
2a=\frac{1}{2}d,~h=d\cos30^{\circ}=\frac{d\sqrt{3}}{2}.
Если S
— площадь основания призмы, то
S=6\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{3d^{2}\sqrt{3}}{32}.
Следовательно,
V=Sh=\frac{3d^{2}\sqrt{3}}{32}\cdot\frac{d\sqrt{3}}{2}=\frac{9d^{3}}{64}.