7743. Основание призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— равносторонний треугольник ABC
со стороной a
. Ортогональная проекция вершины A_{1}
совпадает с центром основания ABC
, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Найдите боковую поверхность призмы.
Ответ. \frac{a^{2}(2+\sqrt{13})}{\sqrt{3}}
.
Указание. Докажите, что BB_{1}C_{1}C
— прямоугольник, а отрезок, соединяющий вершину A_{1}
с серединой ребра AB
, — высота параллелограмма AA_{1}B_{1}B
.
Решение. Пусть O
— центр основания ABC
данной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, M
и K
— середины рёбер BC
и AB
соответственно, S
— боковая поверхность призмы. Поскольку O
— ортогональная проекция вершины A_{1}
на плоскость основания ABC
, OA
— ортогональная проекция бокового ребра AA_{1}
на эту плоскость. Поэтому A_{1}AM
— угол бокового ребра AA_{1}
с плоскостью основания ABC
. По условию задачи \angle A_{1}AM=60^{\circ}
.
Из прямоугольного треугольника A_{1}AM
находим, что
AA_{1}=\frac{OA}{\cos\angle A_{1}AM}=\frac{2}{3}\cdot\frac{AM}{\cos60^{\circ}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{3}\cdot2=\frac{2}{3}a\sqrt{3},
OA_{1}=OA\tg\angle A_{1}AM=\frac{1}{3}a\sqrt{3}\tg60^{\circ}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=a.
Так как AM\perp BC
, то по теореме о трёх перпендикулярах AA_{1}\perp BC
, а так как BB_{1}\parallel AA_{1}
, то BB_{1}\perp BC
. Значит, BB_{1}C_{1}C
— прямоугольник. Поэтому
S_{BB_{1}C_{1}C}=BC\cdot BB_{1}=a\cdot\frac{2}{3}a\sqrt{3}=\frac{2}{3}a^{2}\sqrt{3}.
Поскольку OK
— ортогональная проекция отрезка A_{1}K
, то по теореме о трёх перпендикулярах A_{1}K\perp AB
. Значит, A_{1}K
— высота параллелограмма AA_{1}B_{1}B
. Из прямоугольного треугольника A_{1}KO
находим, что
A_{1}K=\sqrt{OK^{2}+OA_{1}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{6}a\sqrt{3}\right)^{2}+a^{2}}=\frac{a\sqrt{13}}{\sqrt{12}}.
Поэтому
S_{AA_{1}B_{1}B}=AB\cdot A_{1}K=a\cdot\frac{a\sqrt{13}}{\sqrt{12}}=\frac{a^{2}\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}.
Аналогично находим, что S_{AA_{1}C_{1}C}=\frac{a^{2}\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}
. Следовательно,
S=S_{BB_{1}C_{1}C}+S_{AA_{1}B_{1}B}+S_{AA_{1}C_{1}C}=\frac{2}{3}a^{2}\sqrt{3}+2\cdot\frac{a^{2}\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}=
=\frac{2}{3}a^{2}\sqrt{3}+\frac{a^{2}\sqrt{13}}{\sqrt{3}}=\frac{2a^{2}}{\sqrt{3}}+\frac{a^{2}\sqrt{13}}{\sqrt{3}}=\frac{a^{2}(2+\sqrt{13})}{\sqrt{3}}.