7778. На продолжении ребра ST
за точку T
правильной четырёхугольной пирамиды SPQRT
с вершиной S
взята такая точка B
, что расстояние от неё до плоскости SPQ
равно \frac{9\sqrt{7}}{2}
. Найдите отрезок BT
, если QR=12
, а SR=10
.
Ответ. 5.
Указание. Прямая TR
параллельна плоскости грани PQS
, поэтому расстояние от точки T
до этой плоскости равно расстоянию от середины отрезка RT
до плоскости грани PQK
.
Решение. Рассмотрим сечение данной пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S
и середины A
и K
сторон соответственно RT
и PQ
квадрата PQRT
. Пусть SO
— высота пирамиды. Тогда O
— центр основания PQRT
. Из прямоугольных треугольников PKS
и KOS
находим, что
SK=\sqrt{SP^{2}-PK^{2}}=\sqrt{100-36}=8,
SO=\sqrt{SK^{2}-OK^{2}}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.
Пусть AM
— высота равнобедренного треугольника AKS
, опущенная на боковую сторону KS
. Тогда прямая AM
перпендикулярна плоскости грани PQC
и
AM=\frac{AK\cdot SO}{KS}=\frac{12\cdot2\sqrt{7}}{8}=3\sqrt{7}.
Пусть C
и D
— ортогональные проекции точек T
и B
соответственно на плоскость грани PQS
. Поскольку прямая RT
параллельна плоскости грани PQS
, расстояния от всех точек прямой RT
до этой плоскости равны, поэтому TC=AM=3\sqrt{7}
, а так как прямые TC
и BD
перпендикулярны плоскости грани PQS
, то TC\parallel BD
. Значит, точки S
, T
, B
, C
и D
лежат в одной плоскости.
Из подобия треугольников STC
и SBD
находим, что
BS=ST\cdot\frac{BD}{CT}=10\cdot\frac{\frac{9\sqrt{7}}{2}}{3\sqrt{7}}=15.
Следовательно, BT=BS-AS=15-10=5
.