7790. В четырёхугольной пирамиде OABCD
основанием является трапеция ABCD
, а боковые грани OAD
и OBC
перпендикулярны основанию. Площадь грани OAB
равна 9, площадь грани OCD
равна 20, ребро AB
равно 3, ребро CD
равно 5. Найдите объём пирамиды.
Ответ. 6\sqrt{7}
.
Указание. Высота данной пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей OAD
и OBC
.
Решение. Предположим, что AD\parallel BC
. Поскольку плоскости боковых граней OAD
и OBC
перпендикулярны плоскости основания, в каждой из плоскостей OAD
и OBC
содержится по прямой, перпендикулярной плоскости основания. Эти две прямые параллельны, так как обе они перпендикулярны одной и той же плоскости. Тогда две пересекающиеся прямые плоскости OAD
соответственно параллельны двум пересекающимся прямым плоскости OBC
. Значит, плоскости OAD
и OBC
параллельны, что противоречит условию (O
— общая точка этих плоскостей). Следовательно, AB
и CD
— основания трапеции ABCD
, а AD
и BC
— её боковые стороны.
Поскольку каждая из плоскостей OAD
и OBC
перпендикулярна плоскости ABCD
, прямая пересечения плоскостей OAD
и OBC
перпендикулярна плоскости ABCD
. Поэтому, если H
— точка пересечения этой прямой с плоскостью ABCD
, то OH
— высота данной пирамиды.
Пусть OM
— высота треугольника AOB
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах HM\perp AB
, т. е. HM
— высота треугольника HAB
, а так как CD\parallel AB
, то HM\perp CD
. Пусть прямые HM
и CD
пересекаются в точке N
. Тогда HN\perp CD
и ON\perp CD
, т. е. ON
— высота треугольника OCD
.
Треугольники HAB
и HDC
подобны с коэффициентом \frac{3}{5}
. Пусть HM=3x
. Тогда HN=5x
, MN=HN-HM=2x
, причём MN
— высота трапеции ABCD
. В прямоугольном треугольнике OHN
известно, что
ON=2\cdot\frac{S_{\triangle OCD}}{CD}=2\cdot\frac{20}{5}=8,~OM=2\cdot\frac{S_{\triangle OAB}}{AB}=2\cdot\frac{9}{3}=6,
HN=5x,~HM=3x,~ON^{2}-HN^{2}=OH^{2}=OM^{2}-HM^{2},
поэтому 64-25x^{2}=36-9x^{2}
, откуда x=\frac{\sqrt{7}}{2}
. Значит,
OH=\sqrt{36-9x^{2}}=\sqrt{36-\frac{63}{4}}=\sqrt{\frac{81}{4}}=\frac{9}{2},
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot MN=4\cdot2x=8x=4\sqrt{7}.
Следовательно,
V_{OABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot OH=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{7}\cdot\frac{9}{2}=6\sqrt{7}.