7799. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, в котором AB=BC=1
и CC_{1}=2
. Найдите:
а) угол между прямыми AB_{1}
и BC_{1}
;
б) расстояние от середины ребра AA_{1}
до плоскости BC_{1}D
;
в) угол между плоскостями AA_{1}C_{1}C
и BA_{1}D
;
г) расстояние между прямыми AC
и BD_{1}
.
Ответ. а) \arccos\frac{4}{5}
; б) 1; в) 90^{\circ}
; г) \frac{1}{\sqrt{3}}
.
Решение. а) Поскольку AD_{1}\parallel BC_{1}
, угол между скрещивающимися прямыми AB_{1}
и BC_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми AB_{1}
и AD_{1}
, т. е. углу B_{1}AD_{1}
. В треугольнике AB_{1}D_{1}
известно, что
AD_{1}=BC_{1}=AB_{1}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},~B_{1}D_{1}=\sqrt{2}.
По теореме косинусов
\cos\angle B_{1}AD_{1}=\frac{5+5-2}{2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{4}{5}.
б) Пусть M
— середина ребра AA_{1}
, O
— центр квадрата ABCD
, P
— точка пересечения прямых C_{1}O
и AA_{1}
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на гипотенузу C_{1}P
прямоугольного треугольника PA_{1}C_{1}
. Поскольку MH\perp PC_{1}
и MH\perp BD
(теорема о трёх перпендикулярах), прямая MH
перпендикулярна плоскости BC_{1}D
. Значит, расстояние от точки M
до этой плоскости равно длине отрезка MH
.
Из равенства прямоугольных треугольников COC_{1}
и AOP
следует, что
OP=OC_{1}=\sqrt{2^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}},~C_{1}P=2OP=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2},~AP=CC_{1}=2.
Кроме того, A_{1}P=AA_{1}+AP=2+2=4
.
Обозначим \angle A_{1}PC_{1}=\alpha
. Из прямоугольного треугольника A_{1}PC_{1}
находим, что
\sin\alpha=\frac{A_{1}C_{1}}{C_{1}P}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{3}.
Следовательно,
MH=MP\sin\alpha=(MA+AP)\sin\alpha=(1+2)\cdot\frac{1}{3}=1.
в) Плоскость BA_{1}D
проходит через прямую BD
, перпендикулярную плоскости AA_{1}C_{1}C
(BD\perp AC
и BD\perp AA_{1}
), следовательно, эти плоскости перпендикулярны.
г) Пусть Q
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на диагональ BD_{1}
параллелепипеда. Тогда OQ
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AC
и BD_{1}
, так как OQ\perp BD_{1}
и OQ\perp AC
(прямая AC
перпендикулярна плоскости BB_{1}D_{1}D
, а значит, и прямой BD_{1}
).
Обозначим \angle DBD_{1}=\beta
. Из прямоугольного треугольника BDD_{1}
находим, что
BD_{1}=\sqrt{DD_{1}^{2}+BD^{2}}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6},~\sin\beta=\frac{DD_{1}}{BD_{1}}=\frac{2}{\sqrt{6}}.
Следовательно,
OQ=OB\sin\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.