7807. Свойства и признаки ортоцентрического тетраэдра. Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Докажите, что тетраэдр ABCD
ортоцентрический тогда и только тогда, когда две пары его противоположных рёбер перпендикулярны, т. е. AB\perp CD
и AD\perp BC
(в этом случае рёбра третьей пары также перпендикулярны, т. е. AC\perp BD
).
Указание. Примените теорему о трёх перпендикулярах.
Решение. Достаточность. Пусть в тетраэдре ABCD
ребро AB
перпендикулярно ребру CD
, а ребро BC
перпендикулярно ребру AD
. Докажем что, ребро AC
перпендикулярно ребру BD
, а высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Пусть DH
— высота тетраэдра, M
— точка пересечения плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые CD
и DH
, с ребром AB
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CM\perp AB
, т. е. CM
— высота треугольника ABC
. Аналогично докажем, что высота треугольника ABC
, проведённая из вершины A
, также проходит через точку H
, а так как высоты треугольника пересекаются в одной точке, то через точку H
проходит высота треугольника ABC
, проведённая из вершины B
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах AC\perp BD
, а так как одна из высот тетраэдра проходит через ортоцентр грани, то тетраэдр ортоцентрический (см. задачу 9293).
Необходимость. Пусть высоты AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
тетраэдра ABCD
пересекаются в одной точке. Тогда плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые BB_{1}
и CC_{1}
, перпендикулярна прямой AD
, поэтому AD\perp BC
. Аналогично, BD\perp AC
и CD\perp AB
.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена и В.Н.Дубровского: «Из геометрии тетраэдра», Квант, 1988, N9, с.66.