7818. В правильную четырёхугольную пирамиду SABCD
вписан куб. Все четыре вершины одной из граней куба лежат на основании ABCD
пирамиды. Вершины противоположной грани куба лежат на боковых рёбрах пирамиды. Известно, что SA=AB=a
, т. е. боковое ребро пирамиды равно a
и равно стороне её основания. Чему равен объём куба?
Ответ. \frac{a^{3}}{(\sqrt{2}+1)^{3}}
.
Указание. Рассмотрите сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки A
, S
и C
.
Решение. Пусть вершины K
, L
, M
и N
куба KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}
лежат соответственно на боковых рёбрах AS
, BS
, CS
и DS
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
, а вершины K_{1}
, L_{1}
, M_{1}
и N_{1}
— на основании пирамиды (рис. 1). Поскольку пирамида правильная, ортогональные проекции её боковых рёбер на плоскость основания — это отрезки OA
, OB
, OC
и OD
, где O
— точка пересечения диагоналей квадрата ABCD
. Поэтому вершины K_{1}
, L_{1}
, M_{1}
и N_{1}
куба лежат на диагоналях основания пирамиды.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки A
, S
и C
(рис. 2). Получим равнобедренный треугольник ASC
и вписанный в него прямоугольник KK_{1}M_{1}M
, вершины K
и M
которого лежат на боковых сторонах AS
и CS
, а вершины K_{1}
и M_{1}
— на основании AC
. Обозначим через x
ребро куба. Тогда
KK_{1}=MM_{1}=x,~KM=K_{1}M_{1}=x\sqrt{2}.
Стороны треугольника ASC
равны a
, a
и a\sqrt{2}
. Значит, треугольник ASC
— прямоугольный, поэтому
\angle SAC=\angle SCA=45^{\circ},~AK_{1}=KK_{1}=x,~CM_{1}=MM_{1}=x,
а так как AC=AK_{1}+K_{1}M_{1}+CM_{1}
, то
a\sqrt{2}=x+x\sqrt{2}+x=x(2+\sqrt{2}),
откуда x=\frac{a\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}+1}
. Следовательно,
V_{KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}}=x^{3}=\frac{a^{3}}{(\sqrt{2}+1)^{3}}.