7856. В основании призмы лежит равносторонний треугольник ABC
, боковые рёбра призмы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
перпендикулярны основанию. Сфера, радиус которой равен ребру основания призмы, касается плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
и продолжений отрезков AB_{1}
, BC_{1}
и CA_{1}
за точки B_{1}
, C_{1}
и A_{1}
соответственно. Найдите стороны основания призмы, если известно, что боковые рёбра равны 1.
Ответ. \sqrt{44}6
.
Решение. Пусть сфера радиуса a
с центром в точке O
касается плоскости основания A_{1}B_{1}C_{1}
данной призмы в точке P_{1}
, а прямых AB_{1}
, BC_{1}
и CA_{1}
— в точках K
, L
и M
соответственно, причём A_{1}B_{1}=a
.
Обозначим P_{1}A_{1}=x
, P_{1}B_{1}=y
, P_{1}C_{1}=z
. Если продолжение радиуса OP_{1}
пересекает основание ABC
в точке P
, то PA=x
, PB=y
, PC=z
. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к сфере из одной точки
A_{1}M=A_{1}P_{1}=x,~B_{1}K=B_{1}P_{1}=y,~C_{1}L=C_{1}P_{1}=z.
Из прямоугольных треугольников OMC
и OPC
находим, что
OC^{2}=OM^{2}+CM^{2}=OM^{2}+(CA_{1}+A_{1}M)^{2}=a^{2}+\left(\sqrt{1+a^{2}}+x\right)^{2},
OC^{2}=OP^{2}+PC^{2}=(1+a)^{2}+z^{2}.
Поэтому
(1+a)^{2}+z^{2}=a^{2}+(\sqrt{1+a^{2}}+x)^{2}.
Аналогично
(1+a)^{2}+x^{2}=a^{2}+(\sqrt{1+a^{2}}+y)^{2},
(1+a)^{2}+y^{2}=a^{2}+(\sqrt{1+a^{2}}+z)^{2}.
Вычитая почленно из первого равенство второе, из второго третье, из первого третье, получим три равенства:
z^{2}-x^{2}=(\sqrt{1+a^{2}}+x)^{2}-(\sqrt{1+a^{2}}+y)^{2}=(x-y)(2\sqrt{1+a^{2}}+x+y),
x^{2}-y^{2}=(\sqrt{1+a^{2}}+y)^{2}-(\sqrt{1+a^{2}}+z)^{2}=(y-z)(2\sqrt{1+a^{2}}+y+z),
z^{2}-y^{2}=(\sqrt{1+a^{2}}+x)^{2}-(\sqrt{1+a^{2}}+z)^{2}=(x-z)(2\sqrt{1+a^{2}}+x+z).
Предположим, что x\gt y
. Поскольку 2\sqrt{1+a^{2}}+x+y\gt0
, из первого равенства следует, что z\gt x
, поэтому z\gt y
. В то же время, из третьего равенства следует, что z\lt y
, что невозможно. Предположив, что x\lt y
, также получим противоречие. Значит, x=y
. Аналогично y=z
.
Таким образом, P_{1}A_{1}=P_{1}B_{1}=P_{1}C_{1}
, т. е. P_{1}
— центр равностороннего треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
со стороной a
. Поэтому
x=P_{1}A_{1}=P_{1}B_{1}=P_{1}C_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Подставив z=x=\frac{a\sqrt{3}}{3}
в равенство
(1+a)^{2}+z^{2}=a^{2}+(\sqrt{1+a^{2}}+x)^{2},
получим уравнение
(1+a)^{2}+\frac{a^{2}}{3}=a^{2}+\left(\sqrt{1+a^{2}}+\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{2},
из которого находим, что a=\sqrt{44}-6
.