7858. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, в котором B_{1}C_{1}=AB=2
и AC_{1}=2\sqrt{6}
. Найдите:
а) угол между прямыми B_{1}D_{1}
и BC_{1}
;
б) расстояние от вершины B
до плоскости AB_{1}D_{1}
;
в) угол между плоскостями BDC_{1}
и A_{1}B_{1}C_{1}
;
г) расстояние между прямыми AC
и BC_{1}
.
Ответ. а) \arccos\frac{1}{\sqrt{10}}
; б) \frac{4}{3}
; в) \arctg2\sqrt{2}
; г) \frac{4}{3}
.
Решение. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений, поэтому
CC_{1}=\sqrt{AC_{1}^{2}-AB^{2}-B_{1}C_{1}^{2}}=\sqrt{24-4-4}=\sqrt{16}=4.
а) Поскольку BD\parallel B_{1}D_{1}
, угол между скрещивающимися прямыми B_{1}D_{1}
и BC_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми BD
и BC_{1}
, т. е. углу DBC_{1}
. В треугольнике DBC_{1}
известно, что
DC_{1}=BC_{1}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5},~BD=2\sqrt{2}.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Тогда C_{1}O
— высота и медиана равнобедренного треугольника BDC_{1}
. Следовательно,
\cos\angle DBC_{1}=\frac{OB}{BC_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.
б) Поскольку точка O
лежит на прямой BD
, параллельной плоскости AB_{1}D_{1}
, расстояния от точек B
и O
до этой плоскости равны. Пусть O_{1}
— центр квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на гипотенузу AO_{1}
прямоугольного треугольника AOO_{1}
. Поскольку OH\perp AO_{1}
и OH\perp B_{1}D_{1}
(теорема о трёх перпендикулярах), прямая OH
перпендикулярна плоскости AB_{1}D_{1}
. Значит, расстояние от точки O
(а значит, и от точки B
) до этой плоскости равно длине отрезка OH
.
Из прямоугольного треугольника AOO_{1}
находим, что
AO_{1}=\sqrt{16+2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},~OH=\frac{OA\cdot OO_{1}}{AO_{1}}=\frac{\sqrt{2}\cdot4}{3\sqrt{2}}=\frac{4}{3}.
Следовательно, искомое расстояние равно \frac{4}{3}
.
в) Плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
и ABC
параллельны, поэтому угол между плоскостями BDC_{1}
и A_{1}B_{1}C_{1}
равен углу между плоскостями BDC_{1}
и ABC
, т. е. углу COC_{1}
. Из прямоугольного треугольника COC_{1}
находим, что
\tg\angle COC_{1}=\frac{CC_{1}}{OC}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.
г) Прямая AD_{1}
параллельна прямой BC_{1}
, значит, плоскость AD_{1}C
параллельна прямой BC_{1}
. Поэтому расстояние между скрещивающимися прямыми AC
и BC_{1}
равно расстоянию от точки B
до плоскости AD_{1}C
. Отрезок BD
делится плоскостью AD_{1}C
пополам, поэтому точки B
и D
равноудалены от этой плоскости (см. задачу 9180). Таким образом, задача свелась к нахождению расстояния от точки D
до плоскости AD_{1}C
.
Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины B
на медиану D_{1}O
равнобедренного треугольника AD_{1}C
. Тогда DP
— перпендикуляр к плоскости AD_{1}C
(DP\perp D_{1}O
и DP\perp AC
). Из прямоугольного треугольника DOD_{1}
находим, что
DP=\frac{OD\cdot DD_{1}}{OD_{1}}=\frac{\sqrt{2}\cdot4}{3\sqrt{2}}=\frac{4}{3}.
Следовательно, расстояние между прямыми AC
и BC_{1}
равно \frac{4}{3}
.