7860. Плоскость проходит через вершину A
основания треугольной пирамиды SABC
, делит пополам медиану SK
треугольника SAB
, а медиану SL
треугольника SAC
пересекает в такой точке D
, для которой SD:DL=1:2
. В каком отношении делит эта плоскость объём пирамиды?
Ответ. 1:14
.
Указание. Найдите отношения, в которых секущая плоскость делит рёбра SB
и SC
пирамиды SABC
.
Решение. Пусть P
— середина медианы SK
треугольника SAB
, M
— точка пересечения прямых AP
и SB
, N
— точка пересечения прямых AD
и SC
(рис. 1). Рассмотрим плоскость треугольника SAB
(рис. 2). Через точку S
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть T
— точка пересечения этой прямой с продолжением отрезка AM
. Из равенства треугольников SPT
и KPA
находим, что ST=AK=\frac{1}{2}AB
. Из подобия треугольников SMT
и BMA
следует, что
\frac{SM}{MB}=\frac{ST}{AB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{AB}{AB}=\frac{1}{2}.
Поэтому \frac{SM}{SB}=\frac{1}{3}
.
Рассмотрим плоскость треугольника SAC
(рис. 3). Через точку S
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть Q
— точка пересечения этой прямой с продолжением отрезка AN
. Из подобия треугольников SDQ
и LDA
находим, что SQ=\frac{1}{2}AL=\frac{1}{4}AC
. Из подобия треугольников SNQ
и CNA
следует, что
\frac{SN}{NC}=\frac{SQ}{AC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{AC}{AC}=\frac{1}{4}.
Поэтому \frac{SN}{SC}=\frac{1}{5}
. Значит,
\frac{V_{SAMN}}{V_{SABC}}=\frac{SA}{SA}\cdot\frac{SM}{SB}\cdot\frac{SN}{SC}=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}.
Следовательно, секущая плоскость делит объём пирамиды в отношении 1:14
.