7892. В усечённый конус, у которого радиусы нижнего и верхнего оснований равны R
и r
, вписан шар. Найти радиус второго шара, который касается первого шара, боковой поверхности усечённого конуса и верхнего основания.
Ответ. \sqrt{\frac{R}{r}}\cdot(\sqrt{R+r}-\sqrt{R})^{2}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры соответственно нижнего и верхнего оснований усечённого конуса. Рассмотрим сечение усечённого конуса и вписанной в него сферы плоскостью, проходящей через высоту O_{1}O_{2}
. Получим равнобедренную трапецию ABCD
с основаниями AD\gt BC
и вписанную в неё окружность S
с центром O
и радиусом x
, равным радиусу сферы. Эта окружность касается оснований трапеции в из серединах O_{1}
и O_{2}
.
Проведём радиус OM
в точку касания окружности с боковой стороной AB
. Тогда OM
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла, а так как AM=AO_{1}=R
и BM=BO_{2}=r
, то
x=OM=\sqrt{AM\cdot BM}=\sqrt{Rr}.
Пусть луч BO
пересекает окружность S
в точках P
и Q
, причём BP\gt BQ
. Тогда
OB=\sqrt{OM^{2}+BM^{2}}=\sqrt{Rr+r},
BQ=OB-OQ=OB-x=\sqrt{Rr+r}-\sqrt{Rr},
BP=OB+OP=OB+x=\sqrt{Rr+r}+\sqrt{Rr}.
При гомотетии с центром B
и коэффициентом \frac{BQ}{BP}
, сфера, вписанная в усечённый конус перейдёт в искомую сферу радиуса \rho
. Следовательно,
\rho=\frac{BQ}{BP}\cdot x=\frac{\sqrt{Rr+r}-\sqrt{Rr}}{\sqrt{Rr+r}+\sqrt{Rr}}\cdot\sqrt{Rr}=\sqrt{\frac{R}{r}}\cdot(\sqrt{R+r}-\sqrt{R})^{2}.