7900. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a
. Найдите боковую поверхность и объём пирамиды, если её диагональное сечение равновелико основанию.
Ответ. 3a^{2}
, \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Пусть SM=h
— высота правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
. По условию задачи
S_{\triangle BSD}=S_{ABCD},~\frac{1}{2}BD\cdot SM=AB^{2},~\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot h=a^{2},
откуда h=a\sqrt{2}
. Следовательно,
V_{SABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}a^{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}.
Пусть K
— середина BC
. Тогда SK
— апофема правильной пирамиды SABCD
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SMK
находим, что
SK=\sqrt{SM^{2}+MK^{2}}=\sqrt{2a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{3a}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle ASB}+S_{\triangle BSC}+S_{\triangle CSD}+S_{\triangle ASD}=4S_{\triangle BSC}=
=4\cdot\frac{1}{2}BC\cdot SK=4\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{3a}{2}=3a^{2}.