7911. Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной a
, и острым углом 30^{\circ}
. Диагональ одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Найдите полную поверхность и объём параллелепипеда.
Ответ. a^{2}(1+2\sqrt{3}+\sqrt{13})
; \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть диагональ B_{1}C
боковой грани BB_{1}C_{1}C
данного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярна плоскости основания ABCD
, где ABCD
— ромб со стороной a
. Тогда B_{1}C
— высота параллелепипеда, а BC
— ортогональная проекция бокового ребра BB_{1}
на плоскость основания ABCD
. По условию задачи \angle B_{1}BC=60^{\circ}
. Значит,
B_{1}C=BC\tg\angle B_{1}BC=a\sqrt{3}.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot B_{1}C=a^{2}\sin30^{\circ}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}.
Пусть S
— полная поверхность параллелепипеда, B_{1}K
— высота грани AA_{1}B_{1}B
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CK
— высота ромба ABCD
. Поэтому
CK=BC\sin30^{\circ}=\frac{a}{2},~B_{1}K=\sqrt{BC^{2}+CK^{2}}=\sqrt{3a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}.
Следовательно,
S=2(S_{ABCD}+S_{BB_{1}C_{1}C}+S_{AA_{1}B_{1}B})=2(AB\cdot AD\sin30^{\circ}+BC\cdot B_{1}C+AB\cdot B_{1}K)=
=2\left(\frac{a^{2}}{2}+a^{2}\sqrt{3}+a^{2}\sqrt{13}\right)=a^{2}(1+2\sqrt{3}+\sqrt{13}).