7915. В треугольной пирамиде, каждое боковое ребро которой равно a
, один плоский угол при вершине прямой, а каждый из остальных равен 60^{\circ}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}
.
Решение. Пусть ABCD
— данная треугольная пирамида, в которой
AD=BD=CD=a,~\angle BDC=90^{\circ},~\angle ADB=\angle ADC=60^{\circ}.
Так как треугольники ADB
и ADC
равносторонние, то AB=AC=a
. Боковые рёбра DA
, DB
и DC
треугольной пирамиды DABC
равны между собой, поэтому высота, проведённая из вершины D
, проходит через центр O
окружности, описанной около треугольника ABC
. Поскольку треугольник ABC
равен треугольнику BDC
, он — прямоугольный. Точка O
— середина гипотенузы BC
. Далее находим:
DO=\sqrt{BD^{2}-BO^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2},
S_{\triangle ABC}=\frac{a^{2}}{2},~V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}.