7922. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна S
. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами 30^{\circ}
и 60^{\circ}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{S\sqrt{S}}{3}
.
Решение. Предположим, что плоскости двух противоположных боковых граней данной пирамиды PABCD
перпендикулярны плоскости основания ABCD
. Тогда каждая из плоскостей этих боковых граней содержит прямую, перпендикулярную плоскости основания. Эти прямые параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же плоскости. Кроме того, эти две плоскости проходят через противоположные стороны прямоугольника. Таким образом, две пересекающиеся прямые одной из этих плоскостей соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Значит, эти плоскости параллельны, что невозможно, так они имеют общую точку P
.
Пусть соседние боковые грани ABP
и APD
перпендикулярны плоскости основания. Тогда прямая AP
их пересечения также перпендикулярна плоскости основания. Так как AB\perp BC
, то по теореме о трёх перпендикулярах BP\perp BC
. Поэтому ABP
— линейный угол двугранного угла между плоскостями граней BPC
и ABCD
. Аналогично, ADP
— линейный угол двугранного угла между плоскостями граней DPC
и ABCD
.
Пусть \angle ABP=60^{\circ}
, \angle ADP=30^{\circ}
. Обозначим AB=a
, AD=b
, AP=h
— высота пирамиды. Тогда
h=AB\tg\angle ABP=a\tg60^{\circ}=a\sqrt{3},
h=AD\tg\angle ADP=b\tg30^{\circ}=\frac{b}{\sqrt{3}}.
Поэтому
h^{2}=a\sqrt{3}\cdot\frac{b}{\sqrt{3}}=ab=S.
Откуда h=\sqrt{S}
. Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}S\sqrt{S}.