7924. Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны a
и b
. Найдите полную поверхность параллелепипеда.
Ответ. 3ab
.
Решение. Рассмотрим ортогональную проекцию параллелепипеда и вписанного в него шара радиуса r
на плоскость основания (рис. 2). Получим окружность, радиуса r
, вписанную в параллелограмм основания. Значит, основание параллелепипеда — ромб. Пусть x
— сторона ромба. Проведём радиус окружности в точку касания со стороной ромба. Получим высоту прямоугольного треугольника с катетами \frac{a}{2}
и \frac{b}{2}
, проведённую из вершины прямого угла. Поэтому r=\frac{ab}{4x}
. Поскольку высота параллелепипеда равна диаметру данного шара, а параллелепипед — прямой, боковые рёбра параллелепипеда равны 2r
(рис. 1). Значит, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна
4x\cdot2r=\frac{4x\cdot ab}{2x}=2ab.
Прибавив к найденной площади удвоенную площадь ромба, т. е. ab
, получим площадь полной поверхности параллелепипеда:
S=2ab+ab=3ab.