7927. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
диагонали AC
и BD
основания ABCD
пересекаются в точке M
, \angle AMB=\alpha
. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если B_{1}M=b
, \angle BMB_{1}=\beta
.
Ответ. 2b^{2}\sqrt{2}\sin2\beta\sin\frac{2\alpha+\pi}{4}
.
Решение. Из прямоугольного треугольника MBB_{1}
и равнобедренных треугольников AMB
и BMC
находим, что
BB_{1}=MB_{1}\sin\angle BMB_{1}=b\sin\beta,~MB=MB_{1}\cos\angle BMB_{1}=b\cos\beta,
AB=2MB\sin\frac{1}{2}\angle AMB=2b\cos\beta\sin\frac{\alpha}{2},~BC=2MB\cos\frac{1}{2}\angle MCB=2b\cos\beta\cos\frac{\alpha}{2}.
Пусть S
— площадь боковой поверхности параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда
S=2(AB+BC)BB_{1}=2\left(2b\cos\beta\sin\frac{\alpha}{2}+2b\cos\beta\cos\frac{\alpha}{2}\right)b\sin\beta=
=4b\cos\beta\cdot b\sin\beta\cdot\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\right)=4b^{2}\cos\beta\sin\beta\cdot\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)=
=2b^{2}\sqrt{2}\sin2\beta\sin\frac{2\alpha+\pi}{4}.