7934. Найдите объём прямой призмы, основанием которой служит прямоугольный треугольник с острым углом \alpha
, если боковое ребро призмы равно l
и образует с диагональю большей боковой грани угол \beta
.
Ответ. \frac{1}{4}l^{3}\sin2\alpha\tg^{2}\beta
.
Решение. Пусть AB
— гипотенуза прямоугольного треугольника ABC
, лежащего в основании прямой призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, причём \angle ABC=\alpha
. Тогда AA_{1}B_{1}B
— наибольшая боковая грань призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. По условию задачи диагональ AB_{1}
этой грани образует с ребром AA_{1}
угол \beta
. Т.е. \angle A_{1}AB_{1}=\beta
. Тогда
AB=A_{1}B_{1}=AA_{1}\tg\angle A_{1}AB_{1}=l\tg\beta,
BC=AB\cos\angle ABC=l\tg\beta\cos\alpha,~AC=AB\sin\angle ABC=l\tg\beta\sin\alpha,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}l\tg\beta\sin\alpha\cdot l\tg\beta\cos\alpha=\frac{1}{4}l^{2}\sin2\alpha\tg^{2}\beta.
Следовательно,
V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle ABC}\cdot AA_{1}=\frac{1}{4}l^{2}\sin2\alpha\tg^{2}\beta\cdot l=\frac{1}{4}l^{3}\sin2\alpha\tg^{2}\beta.