7945. Найдите наибольший объём конуса с образующей, равной a
.
Ответ. \frac{2\pi a^{3}\sqrt{3}}{27}
.
Решение. Пусть h
— высота конуса, r
— радиус основания, V(h)
— объём конуса. Ясно, что 0\lt h\lt a
. Тогда
r^{2}=a^{2}-h^{2},~V(h)=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi(a^{2}-h^{2})h.
Найдём наибольшее значение функции V(h)
на промежутке (0;a)
.
V'(h)=\frac{1}{3}\pi((a^{2}-h^{2}-2h^{2})=\frac{1}{3}\pi(a^{2}-3h^{2})=
=\frac{1}{3}\pi(a-h\sqrt{3})(a+h\sqrt{3}).
Промежутку (0;a)
принадлежит единственный корень (h=\frac{a}{\sqrt{3}}
) полученного уравнения. Если 0\lt h\lt\frac{a}{\sqrt{3}}
, то V'(h)\gt0
. Поэтому на промежутке \left(0;\frac{a}{\sqrt{3}}\right)
функция V(h)
возрастает. Если \frac{a}{\sqrt{3}}\lt h\lt a
, то V'(h)\lt0
. Поэтому на промежутке \left(\frac{a}{\sqrt{3}};a\right)
функция V(h)
убывает. Следовательно, в точке h=\frac{a}{\sqrt{3}}
функция V(h)
имеет максимум, причём
V_{\max}=V\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{3}\pi\left(a^{2}-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}\right)\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{2}{3}a^{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi a^{3}\sqrt{3}}{27}.