7951. Найдите боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна 1, а боковая грань равновелика диагональному сечению, проведённому через большую диагональ основания.
Ответ. 3.
Решение. Пусть M
— середина стороны AB
основания ABCDEF
правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF
. Тогда PM
— апофема пирамиды, AD
— большая диагональ основания. По условию задачи
S_{\triangle APB}=S_{\triangle APD},~\mbox{или}~\frac{1}{2}AB\cdot PM=\frac{1}{2}AD\cdot PO,
где O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
. Кроме того,
AD=2AO=2,~OM=AB\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Из прямоугольного треугольника PMO
находим, что
PM=\sqrt{PO^{2}+OM^{2}}=\sqrt{PO^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{PO^{2}+\frac{3}{4}}.
Поскольку AB\cdot PM=AD\cdot PO
, получаем уравнение
\sqrt{PO^{2}+\frac{3}{4}}=2PO,
из которого находим, что PO=\frac{1}{2}
. Если S
— площадь боковой поверхности пирамиды, то
S=6S_{\triangle APB}=6S_{\triangle APD}=6\cdot\frac{1}{2}AD\cdot PO=3\cdot2\cdot\frac{1}{2}=3.