7954. Высота конуса равна 20, радиус основания равен 25. Найдите площадь сечения, проведённого через вершину, если его расстояние от центра основания конуса равно 12.
Ответ. 500.
Решение. Пусть A
— вершина конуса, O
— центр основания, BC
— хорда, по которой секущая плоскость пересекает основание конуса, M
— середина BC
, OK
— высота треугольника AOM
. Так как BC\perp OM
и BC\perp AO
, то BC
— перпендикуляр к плоскости AOM
. Поэтому AM\perp BC
и OK\perp BC
. Таким образом, прямая OK
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC
и AM
плоскости сечения. Значит, OK
— перпендикуляр к плоскости сечения. По условию задачи OK=12
.
Обозначим \angle OAM=\angle KOM=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{OK}{AO}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5},
AM=\frac{AO}{\cos\alpha}=\frac{20}{\frac{4}{5}}=25,~OM=\frac{OK}{\cos\alpha}=\frac{12}{\frac{4}{5}}=15.
Из прямоугольного треугольника BOM
находим, что
BM=\sqrt{OB^{2}-OM^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=\sqrt{10\cdot40}=20.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AM=BM\cdot AM=20\cdot25=500.