7960. Ребро правильного тетраэдра равно \sqrt{2}
. Найдите радиус шара, поверхность которого касается всех рёбер тетраэдра.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Указание. Достройте правильный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей.
Решение. Достроим данный правильный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Поскольку у полученного параллелепипеда диагонали каждой грани равны и перпендикулярны друг другу, этот параллелепипед — куб. Если ребро тетраэдра равно a
, то ребро куба равно \frac{a\sqrt{2}}{2}
.
Сфера, вписанная в этот куб, касается всех рёбер исходного правильного тетраэдра. Её радиус равен половине ребра куба, т. е. \frac{a\sqrt{2}}{4}
. При a=\sqrt{2}
ребро радиус сферы равен \frac{1}{2}
.