7979. Около правильного тетраэдра описан цилиндр так, что два противоположных ребра тетраэдра являются диаметрами оснований цилиндра. Найдите отношение объёма цилиндра к объёму тетраэдра.
Ответ. \frac{3\pi}{2}
.
Решение. Пусть a
— ребро правильного тетраэдра, h
— высота тетраэдра, d
— расстояние между противоположными рёбрами, V_{1}
— объём тетраэдра, r
— радиус основания цилиндра, V_{2}
— объём цилиндра. Тогда
h=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}},~d=\frac{a}{\sqrt{2}},
V_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12},
V_{2}=\pi r^{2}d=\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\pi a^{3}}{4\sqrt{2}}.
Следовательно,
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{\frac{\pi\cdot a^{3}}{4\sqrt{2}}}{\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}}=\frac{3\pi}{2}.