7992. В правильную четырёхугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 9:7
, считая от вершины пирамиды. Найдите объём пирамиды, если сторона основания пирамиды равна a
.
Ответ. \frac{4a^{3}}{7}
.
Решение. Пусть b
— апофема правильной четырёхугольной пирамиды с вершиной P
, V
— объём пирамиды. Поскольку пирамида правильная, центр вписанной в неё сферы лежит на высоте, причём сфера касается боковых граней пирамиды в точках, лежащих на апофемах, а основания — в его центре M
(рис. 1). Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофемы PA
и PB
, лежащие в двух противолежащих боковых гранях. Получим равнобедренный треугольник APB
со сторонами PA=PB=b
, AB=a
и вписанную в него окружность с центром O
, лежащим на высоте PM
(рис. 2). Если окружность пересекает высоту PM
в точке K
, отличной от M
, то по условию задачи \frac{PK}{MK}=\frac{9}{7}
. Пусть PK=9x
. Тогда
MK=7x,~OM=\frac{1}{2}MK=\frac{7x}{2},~OP=OK+PK=\frac{7x}{2}+9x=\frac{25x}{2}.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому BO
— биссектриса треугольника PBM
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{\frac{a}{2}}{b}=\frac{BM}{BP}=\frac{OM}{OP}=\frac{\frac{7x}{2}}{\frac{25x}{2}}=\frac{7}{25},
откуда находим, что b=\frac{25a}{14}
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PBM
находим, что
PM=\sqrt{PB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{\frac{625a^{2}}{196}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{12a}{7}.
Следовательно,
V=\frac{1}{3}AB^{2}\cdot PM=\frac{1}{3}a^{2}\cdot\frac{12a}{7}=\frac{4a^{3}}{7}.