8017. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую.
Указание. Если прямая проходит через точку, лежащую в одной из двух параллельных плоскостей, и параллельна второй плоскости, то она лежит в первой плоскости.
Решение. Пусть \alpha
и \beta
— параллельные плоскости, а прямая a
пересекает плоскость \alpha
в точке A
. Предположим, что прямая a
не пересекает плоскость \beta
. Через произвольную точку B
плоскости \beta
и прямую a
проведём плоскость \gamma
. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \alpha
и \beta
по прямым a_{1}
и b
соответственно.
Прямые a_{1}
и b
лежат в одной плоскости и не пересекаются (так как в противном случае пересеклись бы плоскости \alpha
и \beta
), поэтому a_{1}\parallel b
.
Прямые a
и b
также лежат в одной плоскости и не пересекаются (так как в противном случае прямая a
пересекла бы плоскость \beta
), поэтому a\parallel b
.
Значит, прямые a
и a_{1}
совпадают. Но прямая a_{1}
лежит в плоскости \alpha
, поэтому и прямая a
лежит в плоскости \alpha
, что противоречит условию.