8040. Существует ли тетраэдр, у которого пары противоположных рёбер равны 12 и 12, 5 и 5, 13 и 13?
Ответ. Нет.
Указание. Предположите, что такой тетраэдр существует и достройте его до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей.
Решение. Первый способ. Предположим, что такой тетраэдр существует. Достроим его до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Поскольку противолежащие рёбра тетраэдра попарно равны, получим прямоугольный параллелепипед. Пусть его измерения равны AK=a
, KB=b
и AN=c
. Тогда по теореме Пифагора
a^{2}+b^{2}=25,~a^{2}+c^{2}=144,~b^{2}+c^{2}=169.
Сложим почленно два первых равенства и от результата отнимем третье. Получим, что a=0
. Что невозможно.
Второй способ. Треугольник BAD
— прямоугольный, так как
AB^{2}+AD^{2}=25+144=169=BD^{2}.
Поэтому DA\perp AB
. Аналогично, AD\perp DC
, BC\perp AB
и BC\perp CD
. Значит, AD
и BC
— общие перпендикуляры скрещивающихся прямых AB
и CD
, что противоречит единственности общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
Третий способ. Поскольку противоположные рёбра данного тетраэдра попарно равны, то он равногранный. Известно, что грани равногранного тетраэдра — остроугольные треугольники.