8047. Плоскость, проходящая через ребро AD
и середину E
ребра BC
тетраэдра ABCD
, образует углы \alpha
и \beta
с гранями ACD
и ABD
этого тетраэдра. Найдите объём тетраэдра, если известно, что AD=a
, а площадь треугольника ADE
равна S
.
Ответ. \frac{8S^{2}\sin\alpha\sin\beta}{3a\sin(\alpha+\beta)}
.
Указание. Достройте тетраэдр ABCD
до треугольной призмы ABCDB_{1}C_{1}
(AD\parallel BB_{1}\parallel CC_{1})
. Объём призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро (см. задачу 7310).
Решение. Достроим тетраэдр ABCD
до треугольной призмы ABCDB_{1}C_{1}
(рис. 1) (AD\parallel BB_{1}\parallel CC_{1})
. Через точку E
проведём плоскость, перпендикулярную AD
. Пусть эта плоскость пересекает прямые AD
, BB_{1}
и CC_{1}
в точках M
, P
и Q
соответственно. Тогда PQM
— перпендикулярное сечение призмы ABCDB_{1}C_{1}
, точка E
— середина PQ
, \angle EMQ=\alpha
, \angle EMP=\beta
.
Объём призмы ABCDB_{1}C_{1}
равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро (см. задачу 7310), а объём пирамиды ABCD
составляет треть объёма призмы.
В треугольнике PQM
(рис. 2) известна медиана ME=\frac{2S_{\triangle AED}}{AD}=\frac{2S}{a}
и углы, которые она образует со сторонами MQ
и MP
. На продолжении этой медианы за точку E
отложим отрезок EN
, равный ME
. По теореме синусов из треугольника MPN
находим, что
PM=\frac{MN\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{4S}{a}\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.
Поэтому
S_{\triangle PQM}=S_{\triangle MPN}=\frac{1}{2}PM\cdot MN\sin\beta=\frac{1}{2}\cdot\frac{16S^{2}}{a^{2}}\cdot\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}V_{ABCDB_{1}C_{1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{16S^{2}}{2a^{2}}\cdot\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot a=\frac{8S^{2}\sin\alpha\sin\beta}{3a\sin(\alpha+\beta)}.