8049. Все рёбра треугольной пирамиды ABCD
касаются некоторого шара. Три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся рёбер AB
и CD
, AC
и BD
, AD
и BC
, равны между собой, \angle ABC=100^{\circ}
. Найдите отношение высот, опущенных из вершин A
и B
.
Ответ. \sqrt{3}\tg50^{\circ}
.
Указание. Докажите, что AB+CD=AD+BC=AC+BD
. Достроив тетраэдр до параллелепипеда, докажите, что
AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}=AD^{2}+BC^{2}.
Выведите из этих утверждений, что данная тетраэдр является правильной треугольной пирамидой с основанием ADC
.
Решение. Пусть каждый из отрезков, соединяющих середины противоположных рёбер тетраэдра ABCD
, равен a
. Достроим данный тетраэдр до параллелепипеда AKBLNDMC
(AN\parallel KD\parallel BM\parallel LC
), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис. 1). Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра ABCD
, соответственно равны и параллельны рёбрам параллелепипеда AKBLNDMC
, значит, все грани этого параллелепипеда — ромбы, все стороны которых равны a
.
По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011)
AB^{2}+CD^{2}=4a^{2},~AC^{2}+BD^{2}=4a^{2},~AD^{2}+BC^{2}=4a^{2}.
Следовательно,
AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}=AD^{2}+BC^{2}.
Пусть указанный шар касается рёбер AB
, CD
, AD
и BC
тетраэдра ABCD
в точках E
, F
, G
и H
соответственно (рис. 2). Тогда
AB+CD=(AE+BE)+(CF+DF)=(AG+BH)+(CH+DG)=
=(AG+DG)+(CH+BH)=AD+BC.
Аналогично, AC+BD=AB+CD
и AD+BC=AB+CD
.
Рассмотрим равенства
AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2},~AB+CD=AC+BD.
Возведём обе части второго равенства в квадрат и из результата почленно вычтем первое. Получим
AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2},~2AB\cdot CD=2AC\cdot BD.
Значит, (AB-CD)^{2}=(AC-BD)^{2}
, откуда
AB-CD=AC-BD~\mbox{или}~AB-CD=BD-AC,
а так как AB+CD=AC+BD
, то первом случае AB=AC
и CD=BD
, что невозможно, так как \angle ABC=100^{\circ}\gt90^{\circ}
, а во втором — AB=BD
и CD=AC
.
Аналогично, из равенств
AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+BC^{2},~AB+CD=AD+BC
получим, что AB=AD
и CD=BC
(этот случай невозможен, так как тогда из равенств CD=AC
и CD=BC
следует, что AC=BC
) или AB=BC
и CD=AD
.
Таким образом, мы доказали, что
AB=BD,~CD=AC,~AB=BC,~CD=AD,
поэтому
AB=BD=BC,~AC=AD=CD,
т. е. ABCD
— правильная треугольная пирамида с вершиной B
(рис. 3). Пусть h
— длина её высоты опущенной из вершины A
основания на боковую грань BCD
, а H
— длина высоты, опущенной из вершины B
на основание ACD
; K
— середина CD
. Тогда
\frac{h}{H}=\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle BCD}}=\frac{AK}{BK}=\frac{DK\tg60^{\circ}}{DK\ctg50^{\circ}}=\sqrt{3}\tg50^{\circ}.