8052. Стороны AB
и AC
равностороннего треугольника расположены соответственно в гранях P
и Q
острого двугранного угла, равного \varphi
. Сторона AB
образует с ребром двугранного угла острый угол \alpha
. Найдите угол между плоскостью ABC
и гранью Q
.
Ответ. \arcsin\frac{2\sin\alpha\sin\varphi}{\sqrt{3}}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах.
Решение. Первый способ. Пусть H
— ортогональная проекция точки B
на плоскость Q
, точка K
— ортогональная проекция точки H
на прямую AC
, а M
— ортогональная проекция точки H
на прямую пересечения плоскостей P
и Q
. По теореме о трёх перпендикулярах BK\perp AC
и BM\perp AM
. Поэтому \angle BMH=\varphi
и \angle BKH=\beta
, где \beta
— искомый угол.
Обозначим AB=AC=BC=a
. Из прямоугольных треугольников ABM
, BHM
, BAK
и BHK
находим, что
BM=AB\sin\angle BAM=a\sin\alpha,
BH=BM\sin\angle BMH=a\sin\alpha\sin\varphi,
BK=AB\sin\angle BAK=a\sin60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2},
\sin\beta=\sin\angle BKH=\frac{BH}{BK}=\frac{a\sin\alpha\sin\varphi}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\alpha\sin\varphi.
Второй способ. Пусть H
— ортогональная проекция точки B
на плоскость Q
, точка K
— ортогональная проекция точки H
на прямую AC
, а M
— ортогональная проекция точки H
на прямую пересечения плоскостей P
и Q
. По теореме о трёх перпендикулярах BK\perp AC
и BM\perp AM
. Поэтому \angle BMH=\varphi
и \angle BKH=\beta
, где \beta
— искомый угол.
Обозначим \angle BAH=\gamma
— угол между прямой AB
и гранью Q
По теореме о трёх синусах (см. задачу 9755)
\sin\gamma=\sin\alpha\sin\varphi.
С другой стороны, рассмотрим двугранный угол с гранями Q
и ABC
. Его линейный угол равен \beta
, а прямая AB
, лежащая в грани ABC
, образует угол 60^{\circ}
с ребром AC
этого двугранного угла. Тогда по теореме о трёх синусах
\sin\gamma=\sin\beta\cdot\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\beta.
Из равенства
\sin\alpha\sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\beta
находим, что
\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\alpha\sin\varphi.
Примечание. См. также статью И.Г.Габовича «Теорема о трёх синусах», Квант, 1989, N9, с.71