8062. Три шара одинакового радиуса попарно касаются друг друга и некоторой плоскости. Основание конуса расположено в этой плоскости. Все три сферы касаются боковой поверхности конуса внешним образом. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если высота конуса равна диаметру шара.
Ответ. 2\arctg\frac{\sqrt{3}}{12}=4\arctg\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\pi-4\arctg\frac{\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть O'_{1}
, O'_{2}
, O'_{3}
— ортогональные проекции центров O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
данных сфер на плоскость основания конуса (рис. 2), R
— радиус сфер, A
— вершина конуса, O
— центр основания конуса, r
— его радиус, \varphi
— угол в осевом сечении конуса. Точка O
— центр окружности, описанной около равностороннего треугольника O'_{1}O'_{2}O'_{3}
со стороной 2R
, поэтому OO'_{1}=\frac{2R}{\sqrt{3}}
.
Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через точку O_{1}
(рис. 3). Получим равнобедренный треугольник ABC
с основанием BC=2r
, высотой AO=2R
и окружность, касающуюся боковой стороны AC
в некоторой точке M
, а продолжения основания BC
за точку C
— в точке O'_{1}
. Пусть прямая, проходящая через точку A
, касается этой окружности в точке P
, не лежащей на AC
. Поскольку AO=PO'=2R
, прямая AP
параллельна BC
. Обозначим \angle PAO_{1}=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{O_{1}P}{AP}=\frac{O_{1}P}{OO'_{1}}=\frac{R\sqrt{3}}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2},
\angle CAO_{1}=\angle PAO_{1}=\alpha,~\angle CAP=2\alpha.
Следовательно,
\frac{\varphi}{2}=90^{\circ}-\angle CAP=90^{\circ}-2\alpha,
\tg\frac{\varphi}{2}=\tg(90^{\circ}-2\alpha)=\ctg2\alpha=\frac{1}{\tg2\alpha}=\frac{1-\tg^{2}\alpha}{2\tg\alpha}=
=1-\frac{3}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{12}.