8071. Вершина A
правильной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
совпадает с центром одного из оснований цилиндра, вершины B_{1}
и C_{1}
лежат на окружности другого основания, а вершины A_{1}
, B
, C
— на боковой поверхности цилиндра. Найдите отношение объёмов цилиндра и призмы.
Ответ. \frac{20\pi\sqrt{3}}{27}
.
Указание. Рассмотрите ортогональные проекции призмы и цилиндра: а) на плоскость основания цилиндра; б) на плоскость осевого сечения цилиндра, проходящую через точку A
.
Решение. Обозначим через r
радиус основания цилиндра, h
— высоту цилиндра, a
— сторону основания призмы, l
— боковое ребро призмы.
Пусть C'
, B'
, A'_{1}
и A'
— ортогональные проекции точек C
, B
, A_{1}
и A
на плоскость основания цилиндра, содержащую вершины B_{1}
и C_{1}
призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
(рис. 2). Тогда A'
— центр окружности этого основания, C'B'
и C_{1}B_{1}
— равные параллельные хорды этой окружности,
A'C'\parallel A_{1}'C_{1},~A'B'\parallel A'_{1}B_{1},~A'C_{1}=A'C'=A'B_{1}=A'A'_{1}=r.
Поэтому A'C_{1}A_{1}'
— равносторонний треугольник со стороной r
. Тогда a=C_{1}B_{1}=2\cdot\frac{r\sqrt{3}}{2}=r\sqrt{3}
. Следовательно, \frac{r}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}
.
Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, проходящей через точки A
, A_{1}
и A'
(рис. 3). Пусть P
— ортогональная проекция точек B_{1}
и C_{1}
на эту плоскость. Тогда P
— середина отрезка A'A_{1}'
, а A_{1}P
— высота равностороннего треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, поэтому A_{1}P=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3r}{2}
. Если M
— проекция точки A_{1}
на плоскость верхнего основания цилиндра, то AM=r
. Тогда из подобия прямоугольных треугольников PA'_{1}A_{1}
и A_{1}MA
находим, что
MA_{1}=\frac{r\sqrt{2}}{4},~l=AA_{1}=\frac{3r\sqrt{2}}{4},
поэтому
h=MA_{1}'=MA_{1}+A_{1}A_{1}'=\frac{r\sqrt{2}}{4}+r\sqrt{2}=\frac{5r\sqrt{2}}{4}.
Тогда
\frac{h}{l}=\frac{\frac{5r\sqrt{2}}{4}}{\frac{3r\sqrt{2}}{4}}=\frac{5}{3}.
Следовательно,
\frac{V_{\mbox{цил}.}}{V_{\mbox{пр.}}}=\frac{\pi r^{2}h}{\frac{a^{2}l\sqrt{3}}{4}}=\frac{4\pi}{\sqrt{3}}\cdot\frac{r^{2}}{a^{2}}\cdot\frac{h}{l}=\frac{4\pi}{\sqrt{3}}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}\cdot\frac{5}{3}=\frac{20\pi\sqrt{3}}{27}.