8079. Основание пирамиды PABCD
— параллелограмм ABCD
. Точка K
— середина ребра AP
, точка N
расположена на ребре CP
, причём CN:NP=1:3
, точка M
расположена на продолжении ребра BC
за точку B
, причём BM=2BC
. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K
, M
, N
. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?
Ответ. 405:1267
.
Указание. Найдите отношения, в которых плоскость KMN
делит рёбра PB
и PD
пирамиды PABCD
и рассмотрите треугольные пирамиды PABD
и PBCD
.
Решение. Плоскости граней APD
и BPC
проходят через параллельные прямые AD
и BC
и имеют общую точку P
, значит, они пересекаются по прямой l
, проходящей через точку P
параллельно прямым AD
и BC
. Обозначим BC=AD=a
.
Рассмотрим плоскость грани BPC
. Пусть продолжение прямая MN
пересекает прямую l
в точке T
, а ребро PB
— в точке G
. Из подобия треугольников PNT
и CNM
находим, что
PT=MC\cdot\frac{PN}{NC}=3\cdot3a=9a,
а из подобия треугольников PGT
и BGM
следует, что
\frac{PG}{GB}=\frac{PT}{BM}=\frac{9a}{2a}=\frac{9}{2}.
Значит, \frac{PG}{PB}=\frac{9}{11}
.
Рассмотрим плоскость грани APD
. Пусть прямая TK
пересекает ребро PD
в точке E
, а прямую AD
— в точке H
. Из равенства треугольников PKT
и AKH
следует, что AH=PT=9a
. Из подобия треугольников PET
и DEH
находим, что
\frac{PE}{ED}=\frac{PT}{DH}=\frac{9a}{10a}=\frac{9}{10}.
Значит, \frac{PE}{PD}=\frac{9}{19}
.
Обозначим через V
объём пирамиды PABCD
. Тогда объёмы треугольных пирамид PABD
и PBCD
равны \frac{1}{2}V
. Далее имеем:
V_{PNGE}=\frac{PN}{PC}\cdot\frac{PG}{PB}\cdot\frac{PE}{PD}\cdot V_{PBCD}=\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{11}\cdot\frac{9}{19}\cdot\frac{1}{2}V,
V_{PEGK}=\frac{PK}{PA}\cdot\frac{PG}{PB}\cdot\frac{PE}{PD}\cdot V_{PBCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{11}\cdot\frac{9}{19}\cdot\frac{1}{2}V,
V_{PEKGN}=V_{PNGE}+V_{PEGK}=\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{11}\cdot\frac{9}{19}\cdot\frac{1}{2}V+\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{11}\cdot\frac{9}{19}\cdot\frac{1}{2}V=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{11}\cdot\frac{9}{19}\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\right)V=\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{11}\cdot\frac{9}{19}\cdot\frac{5}{4}V=\frac{405}{1672}V.
Пусть V_{1}
и V_{2}
— объёмы многогранников, на которые плоскость MNK
делит пирамиду ABCD
. Тогда
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{405}{1672-405}=\frac{405}{1267}.