8094. Теорема косинусов для тетраэдра. Докажите, что квадрат площади каждой грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей трёх остальных граней без удвоенных попарных произведений площадей этих граней на косинусы двугранных углов между ними, т. е.
S^{2}_{0}=S^{2}_{1}+S^{2}_{2}+S^{2}_{3}-2S_{1}S_{2}\cos\alpha_{12}-2S_{1}S_{3}\cos\alpha_{13}-2S_{2}S_{3}\cos\alpha_{23}.
Решение. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы, которые образуют плоскости граней, имеющих площади соответственно S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
, с плоскостью грани, площадь которой равна S_{0}
. Спроектируем ортогонально первые три грани на четвёртую. Получим равенство
S_{0}=S_{1}\cos\alpha+S_{2}\cos\beta+S_{3}\cos\gamma.
Аналогично получим ещё три равенства:
S_{1}=S_{0}\cos\alpha+S_{2}\cos\alpha_{12}+S_{3}\cos\alpha_{13},
S_{2}=S_{0}\cos\beta+S_{1}\cos\alpha_{12}+S_{3}\cos\alpha_{23},
S_{3}=S_{0}\cos\gamma+S_{1}\cos\alpha_{13}+S_{2}\cos\alpha_{23}.
Умножим первое из этих равенств на S_{0}
, второе, третье и четвёртое соответственно на -S_{1}
, -S_{2}
, -S_{3}
и сложим почленно 4 полученных равенства:
S^{2}_{0}-S^{2}_{1}-S^{2}_{2}-S^{2}_{3}=-2S_{1}S_{2}\cos\alpha_{12}-2S_{1}S_{3}\cos\alpha_{13}-2S_{2}S_{3}\cos\alpha_{23},
откуда
S^{2}_{0}=S^{2}_{1}+S^{2}_{2}+S^{2}_{3}-2S_{1}S_{2}\cos\alpha_{12}-2S_{1}S_{3}\cos\alpha_{13}-2S_{2}S_{3}\cos\alpha_{23}.
Примечание. Следствие. Если плоские углы при одной из вершин тетраэдра прямые (прямоугольный тетраэдр), то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумма квадратов площадей трёх остальных граней.