8136. Найдите геометрическое место середин всех отрезков, концы которых лежат в двух параллельных плоскостях.
Ответ. Плоскость.
Решение. Пусть \alpha
и \beta
— две параллельные плоскости, точка A
лежит в плоскости \alpha
, точка B
— в плоскости \beta
. Через середину M
отрезка AB
проведём плоскость \gamma
, параллельную плоскостям \alpha
и \beta
. Докажем, что плоскость \gamma
есть искомое геометрическое место точек.
Пусть XY
— произвольный отрезок, концы X
и Y
которого лежат в плоскостях \alpha
и \beta
соответственно (рис. 1). Плоскость, проходящая через прямую BY
и точку A
, пересекает плоскость \gamma
по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно BY
. Значит, прямая l
пересекает отрезок AY
в его середине C
. Таким образом, середина C
отрезка AY
лежит в плоскости \gamma
. Проведя плоскость через AX
и точку Y
, аналогично докажем, что середина Z
отрезка XY
лежит в плоскости \gamma
. Следовательно, середины всех отрезков с концами в параллельных плоскостях \alpha
и \beta
лежат в плоскости \gamma
.
Пусть теперь N
— произвольная точка плоскости \gamma
(рис. 2). Докажем, что N
— середина какого-то отрезка с концами в плоскостях \alpha
и \beta
. Действительно, если прямая AN
пересекает плоскость \beta
в точке D
, то плоскость, проходящая через прямую DB
и точку A
, пересекает плоскость \gamma
по прямой MN
, параллельной DB
, а так как M
— середина AB
, то N
— середина AD
. Таким образом, AD
— искомый отрезок с концами в плоскостях \alpha
и \beta
.