8143. Пусть A
, B
, C
и D
— четыре точки, не лежащие в одной плоскости. В каком отношении плоскость, проходящая через точки пересечения медиан треугольников ABC
, ABD
и BCD
, делит отрезок BD
?
Ответ. 1:2
.
Решение. Пусть K
, L
, M
— точки пересечения медиан треугольников ABC
, ABD
и BCD
соответственно, P
— середина BC
, Q
— середина AC
. В треугольнике ADP
известно, что
\frac{PM}{MD}=\frac{PK}{KA}=\frac{1}{2},
поэтому KM\parallel AD
. Аналогично, KL\parallel CD
. Значит, плоскость KLM
параллельна плоскости ACD
.
Пусть F
— точка пересечения прямой BD
с плоскостью KLM
. Параллельные плоскости ACD
и KLM
пересечены плоскостью DQB
по параллельным прямым DQ
и KF
. Следовательно,
\frac{DF}{FB}=\frac{QK}{KB}=\frac{1}{2}.