8149. Дан параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. На рёбрах AD
, A_{1}D_{1}
и B_{1}C_{1}
взяты точки M
, L
и K
соответственно, причём B_{1}K=\frac{1}{3}A_{1}L
, AM=\frac{1}{2}A_{1}L
. Известно, что KL=2
. Найдите длину отрезка, по которому плоскость KLM
пересекает параллелограмм ABCD
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Пусть секущая плоскость пересекает прямую BC
в точке N
, а прямую AB
— в точке P
. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей MN\parallel KL
. Обозначим A_{1}L=6a
. Тогда B_{1}K=2a
, AM=3a
.
Через точки L
и K
проведём прямые, параллельные AA_{1}
до пересечения с прямыми AD
и BC
в точках L'
и K'
соответственно. (точки L'
и K'
— параллельные проекции точек L
и K
на плоскость ABCD
с проектирующей прямой AA_{1}
). Тогда
AL'=A_{1}L=6a,~BK'=B_{1}K=2a,~ML'=AL'-AM=6a-3a=3a,
NK'=ML'=3a,~BN=NK'-BK'=3a-2a=a.
Из подобия треугольников BPN
и APM
находим, что
\frac{NP}{PM}=\frac{BN}{AM}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}.
Поэтому \frac{PM}{MN}=\frac{3}{4}
. Следовательно,
PM=\frac{3}{4}MN=\frac{3}{4}K'L'=\frac{3}{4}KL=\frac{3}{4}\cdot2=\frac{3}{2}.