8158. Точки A
и B
лежат в плоскости \alpha
, M
— такая точка в пространстве, для которой AM=2
, BM=5
и ортогональная проекция на плоскость \alpha
отрезка BM
в три раза больше ортогональной проекции на эту плоскость отрезка AM
. Найдите расстояние от точки M
до плоскости \alpha
.
Ответ. \frac{\sqrt{22}}{4}
.
Решение. Пусть M_{1}
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на плоскость \alpha
. Тогда AM_{1}
и BM_{1}
— ортогональные проекции отрезков соответственно AM
и BM
на эту плоскость, длина отрезка MM_{1}
— расстояние от точки M
до плоскости \alpha
, а треугольники AMM_{1}
и BMM_{1}
— прямоугольные. Обозначим AM_{1}=x
. Тогда по условию задачи BM_{1}=3x
. По теореме Пифагора
AM^{2}-AM^{2}_{1}=BM^{2}-BM^{2}_{1},~\mbox{или}~4-x^{2}=25-9x^{2},
откуда x^{2}=\frac{21}{8}
. Следовательно,
MM_{1}=\sqrt{AM^{2}-AM_{1}^{2}}=\sqrt{4-\frac{21}{8}}=\frac{\sqrt{22}}{4}.