8165. В пирамиде ABCD
даны рёбра: AB=7
, BC=8
, CD=4
. Найдите ребро DA
, если известно, что прямые AC
и BD
перпендикулярны.
Ответ. 1.
Указание. Проведите высоту BK
треугольника ABC
и примените теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам ABK
, CBK
, ADK
и CDK
.
Решение. Проведём высоту BK
треугольника ABC
. Прямая AC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BK
и BD
плоскости BDK
. Значит, прямая AC
перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности, прямой DK
. Поэтому DK
— высота треугольника ADC
. Применим теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам ABK
, CBK
, ADK
и CDK
:
AB^{2}-AK^{2}=BC^{2}-CK^{2},~AD^{2}-AK^{2}=DC^{2}-CK^{2}.
Вычитая почленно эти равенства, получим уравнение
AB^{2}-AD^{2}=BC^{2}-DC^{2},~\mbox{или}~49-AD^{2}=64-16,
откуда находим, что AD^{2}=1
. Следовательно, AD=1
.