8171. Докажите, что геометрическое место точек, равноудалённых от двух заданных точек пространства, есть плоскость, перпендикулярная отрезку с концами в этих точках и проходящая через середину этого отрезка.
Решение. Пусть плоскость \alpha
перпендикулярна прямой AB
и проходит через середину M
отрезка AB
.
Если P
— произвольная точка этой плоскости, отличная от M
, то AB\perp PM
, поэтому PM
— высота и медиана треугольника APB
. Значит, треугольник APB
равнобедренный. Следовательно, PA=PB
.
Пусть теперь P
— произвольная точка пространства, равноудалённая от точек A
и B
. Если P
отлична от M
, то медиана равнобедренного треугольника APB
является его высотой. Поэтому PM\perp AB
. Если бы при этом точка P
не лежала в плоскости \alpha
, то плоскости \alpha
и APB
пересекались бы по прямой, проходящей через точку M
и перпендикулярной прямой AB
, а значит, в плоскости APB
через точку M
проходили бы две прямые, перпендикулярные AB
, что невозможно.