8172. В пирамиде ABCD
рёбра AD
, BD
и CD
равны 5, расстояние от точки D
до плоскости ABC
равно 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. 3.
Указание. Если боковые рёбра пирамиды равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.
Решение. Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. Поскольку боковые рёбра пирамиды ABCD
с вершиной D
равны, высота DO
пирамиды проходит через центр O
окружности, описанной около основания ABC
. Прямая DO
перпендикулярна плоскости основания ABC
, поэтому она перпендикулярна прямой OA
. Из прямоугольного треугольника AOD
находим, что
OA=\sqrt{DA^{2}-DO^{2}}=\sqrt{25-16}=3.