8173. Известно, что некоторая точка M
равноудалена от двух пересекающихся прямых m
и n
. Докажите, что ортогональная проекция точки M
на плоскость прямых m
и n
лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми m
и n
.
Решение. Пусть M_{1}
— ортогональная проекция точки M
на плоскость \alpha
, проходящую через прямые m
и n
; A
— точка пересечения прямых m
и n
; P
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
на прямые m
и n
соответственно. Так как M_{1}P
и M_{1}Q
— ортогональные проекции наклонных AP
и AQ
на плоскость \alpha
, то по теореме о трёх перпендикулярах M_{1}P\perp m
и M_{1}Q\perp n
, а так как MP=MQ
то M_{1}P=M_{1}Q
, т. е. точка M_{1}
равноудалена от сторон угла PAQ
. Следовательно, точка M_{1}
лежит на биссектрисе этого угла.