8174. Точка M
равноудалена от трёх прямых AB
, BC
и AC
. Докажите, что ортогональная проекция точки M
на плоскость ABC
является центром вписанной окружности либо одной из вневписанных окружностей треугольника ABC
.
Решение. Пусть M_{1}
— ортогональная проекция точки M
на плоскость ABC
, P
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
на прямые AB
и AC
. Так как M_{1}P
и M_{1}Q
— ортогональные проекции наклонных MP
и MQ
на плоскость ABC
и MP\perp AB
, MQ\perp AC
, то по теореме о трёх перпендикулярах M_{1}P\perp AB
и M_{1}Q\perp AC
. Из равенства прямоугольных треугольников MM_{1}P
и MM_{1}Q
следует равенство отрезков M_{1}P
и M_{1}Q
. Значит, точка M_{1}
равноудалена от прямых AB
и AC
. Следовательно, точка M_{1}
лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми AB
и AC
. Аналогично, точка M_{1}
лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми AB
и BC
, а также — на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми AC
и BC
.
Если точка M_{1}
лежит внутри треугольника ABC
, то M_{1}
— точка пересечения биссектрис углов треугольника ABC
, т. е. центр окружности, вписанной в этот треугольник. Если точка M_{1}
лежит вне треугольника ABC
, то M_{1}
— точка пересечения биссектрисы одного из внутренних углов треугольника ABC
и биссектрис двух внешних его углов. В этом случае M_{1}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
.