8175. Точка M
находится на расстояниях 5 и 4 от двух параллельных прямых m
и n
и на расстоянии 3 от плоскости, проходящей через эти прямые. Найдите расстояние между прямыми m
и n
.
Ответ. 4+\sqrt{7}
или 4-\sqrt{7}
.
Решение. Пусть M_{1}
— ортогональная проекция точки M
на плоскость \alpha
, проходящую через параллельные прямые m
и n
, A
и B
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
на прямые m
и n
соответственно. Так как M_{1}A
и M_{1}B
— ортогональные проекции наклонных MA
и MB
на плоскость \alpha
и MA\perp m
и MB\perp n
, то по теореме о трёх перпендикулярах M_{1}A\perp m
и M_{1}B\perp n
. Прямые m
и n
параллельны, поэтому точки A
, M_{1}
и B
лежат на одной прямой. Значит, расстояние между прямыми m
и n
равно длине отрезка AB
. Из прямоугольных треугольников MAM_{1}
и MBM_{1}
находим, что
AM_{1}=\sqrt{AM^{2}-MM^{2}}=\sqrt{25-9}=4,
BM_{1}=\sqrt{BM^{2}-MM^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}.
Пусть точка M_{1}
лежит между точками A
и B
(рис. 1). Тогда
AB=AM_{1}+M_{1}B=4+\sqrt{7}.
Если же точка M_{1}
лежит вне отрезка AB
(рис. 2), то
AB=|AM_{1}-M_{1}B|=|4-\sqrt{7}|=4-\sqrt{7}.