8178. Докажите, что если ортогональная проекция одной из вершин треугольной пирамиды на плоскость противоположной грани совпадает с точкой пересечения высот этой грани, то это же будет верно для любой другой вершины пирамиды.
Решение. Пусть ортогональная проекция P
вершины D
треугольной пирамиды ABCD
есть точка пересечения высот треугольника ABC
. Прямая CP
— ортогональная проекция наклонной CD
на плоскость ABC
. Так как CP\perp AB
, то по теореме о трёх перпендикулярах AB\perp CD
.
Пусть Q
— ортогональная проекция вершины C
на плоскость BAD
. Тогда прямая BQ
— ортогональная проекция наклонной CB
на плоскость BAD
. Так как AB\perp CD
, то по теореме о трёх перпендикулярах BQ\perp AD
. Значит, высота BM
треугольника BAD
проходит через точку Q
. Аналогично, AQ\perp BD
, т. е. высота AN
треугольника BAD
проходит через точку Q
. Следовательно, Q
— точка пересечения высот треугольника BAD
. Остальное аналогично.